Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка icon

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка




Скачать 343.49 Kb.
НазваниеРешение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка
страница1/3
Исмагилова Ф.Г
Дата конвертации12.05.2013
Размер343.49 Kb.
ТипРешение
источник
  1   2   3

МОУ «Арская средняя общеобразовательная школа №2»


Элективные курсы по теме


Линейные и квадратные уравнения с параметрами

(9 класс)


Разработал учитель первой квалификационной категории Исмагилова Ф.Г.


2005г.


Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами.


Пояснительная записка.


В последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, но и в контрольных и экзаменационных работах (ЕГЭ).

Уравнения с параметрами - один из наиболее труднейших разделов математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются друг от друга. При этом следует четко и последовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений, неравенств с учетом области определения выражений, которые входят в уравнения и неравенства, а также учитывать выполнимость производимых операций.

Решить уравнение с параметрами значит:

1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.


Планирование курса (17ч)


1.Решение линейных уравнений с параметрами. 9часов.



  • повторение изученных в 7,8 классах решения линейных и квадратных уравнений;




1 ч

  • решение простейших линейных уравнений с параметрами;





3 ч

  • решение уравнений с параметрами вида ;




2 ч

  • решение систем линейных уравнений с параметрами;




2 ч

  • подведение итогов по теме




1 ч


^ 2.Решение квадратных уравнений с параметрами. 8 часов.


  • решение квадратных уравнений с параметрами, нахождение значений которых связаны с дискриминантом



4 ч


  • решение квадратных уравнений вида ;




2 ч

  • повторение решения квадратных уравнений с параметрами




1 ч

  • подведение итогов курса, обобщение знаний.




1 ч



Занятие 1


Тема: Повторение.

Цель: повторить решения линейных и квадратных уравнений за 7-8

классы.


I. Повторение.


а) Линейные уравнение.

Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а и b –некоторые числа, называются линейным.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней и может не иметь корней.

  1. если а≠0, х =– единственный корень,

  2. если а = 0, b≠0, получим 0∙х = b – это уравнение не имеет корней,

  3. если а = 0, b = 0, получим 0∙х = 0 – это уравнение имеет множество корней.

II. Рассмотрим примеры, используя учебник 7-го класса под редакцией Алимова.

№ 88(1;3), №89(1;3), №95(1;2), №96(1;2).

№88.

  1. 25х – 1=9

25х =10

х =

3) 3х -5=10- х

3х+х =10+5

4х =15

х = 3.

№89.

  1. 5х+3·(3х+7)=35

5х+9х+21=35

14х =14

х =1

3) 8у-9-(4у-5)=12у-(4+5у)

8у-9-4у+5=12у-4-5у

4у-4=7у-4

-3у=0

у=0.

№95.

  1. 28-20х = 2х+25-16х-12-6х

28-20х = -20х+13

0х = -15

нет корней.

  1. 25х-17=4х-5-13х+14+34х

25х-17=25х+9

0х=26

нет корней.

№96.

  1. 10-4х+3=9х-2-6х+9-7х+6

13-4х=13-4х

0х=0

х- любое число.

2) 9х+4-5х=8+7х-9-3х+5

4х+4=4х+4

0х=0

х – любое число.

б) Уравнение вида ах²+bх+c=0, где а,b,c- числа, а≠0, х- переменная, называется квадратным.

При решении квадратных уравнений мы всегда связываем их решения с дискриминантом. В курсе 8 класса мы много решали уравнений на нахождение корней, используя условия Д>0, Д=0, Д<0.

Рассмотрим упражнения на закрепление из сборника.

№95, №96.

Д/з: № 97, 98 из сборника.


Занятие 2.

Тема: Линейные уравнения.

Цель: ввести понятие линейных уравнений с параметрами,

рассмотреть примеры решения уравнений.


  1. Вводная беседа.

Уравнения с параметрами – один из наиболее труднейших разделов математики. Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, при каждом из которых методы решения задачи часто существенно отличаются друг от друга.

Решить уравнение с параметрами значит:

  1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение

имеет корни и сколько их при различных значениях

параметров.

  1. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражения действительно определяет корень уравнения.



II. Изучения нового материала.

Уравнение вида ах = b называется линейным, где х- переменная, а и b параметры.

а) если, а≠0,b – любое число, то х =– единственный корень.

б) если, а = 0, 0∙х = b.

1)если b≠0, то уравнение 0∙х = b не имеет корней.

2)если b = 0, то х- любое.


III. Выполнение упражнений на закрепление.

Решить уравнения:

  1. ах=10

а) а=0, то 0∙х=10 – нет корней

б) а≠0, то х =

Ответ: при а≠0 единственное решение х =,

при а=0 корней нет.


  1. |х| =а

а) при а<0 корней нет

б) при а=0 х=0

в) при а>0 х1= а, х2= -а.


  1. (а-2)·х =5

Если уравнение имеет вид:

а) а=2, то 0∙х = 5 – нет корней

б) а≠2, то х =.

Ответ: при а≠2 единственное решение х = ,

при а=2 нет корней.


  1. 2а·(а-4)·х = а-4

а) а=0, то 0х= -4 нет корней

б) а=4, то 0х=0 – множество корней

в) а≠ 0,а≠4, то х= а-4/2а(а-4)=1/2а

Ответ: при а=0 нет корней,

при а=4 х – любое,

при а≠ 0,а≠4, то х= 1/2а.


  1. (а² - 4)·х = а²+а-6.

а) а²-4=0, то а1, 2 = ±2

если а=2, то 0х=0, х – любое

если а= -2, то 0х= -4 – нет корней

б) а≠ ±2, то х=а²+а-6/а²-4=а+3/а+2

Ответ: при а≠ ±2 х=а+3/а+2,

при а= -2 нет корней,

при а=2 х- любое.


IV.Итог урока.


V. Домашнее задание. Решите уравнения:

1) ах = - 3

2) (а+2)·х = а²- 4

3) b(b-1)· х= b²+b-2

4) При каких значениях параметра а уравнение (а²- 9)·х =а+3 имеет

а) 1 корень.

б) ни одного корня.

в) бесконечно много корней.


Занятие 3.

Тема: Линейные уравнения.

Цель: совершенствовать умения и навыки в решении линейных уравнений с

параметрами и рассмотреть уравнения с условиями.


План.

  1. Повторение.

    • Ответы на вопросы:

      1. Каков общий вид линейного уравнения?

      2. Когда уравнение а∙х=b имеет единственный корень, множество корней, ни одного корня?

  • Разбор домашней работы.

  1. а∙х= -3

Ответ: при а=0 – нет корней, а≠0, х=.

2.(а+2)·х=а² - 4

а) а= -2, то 0∙х=0 – множество корней,

б) а≠ -2, то х=

Ответ: при а≠ -2, х=а -2; а= -2, х- любое.


3.b·(b-1)·х=b²+b-2

а) b=0, то 0∙х = -2 нет корней

b=1, то 0∙х =0- х-любое

б) b≠0, b≠1, то х=

Ответ: при b=0 нет корней;

при b=1 х - любое

при b≠0, b≠1, х =

4. (а²-9)·х = а+3

а) а²-9≠0, то х = а+3/а²-9 = 1/а-3

б) а= -3, 0х= 0, х-любое

в) а=3, 0х= 6, нет корней.

Ответ: а) при а≠ ±3 б) при а=-3 в) а=3


II.Выполнение упражнений на закрепление.

1) 3х+9=а· (а-х)

3х+9= а² -ах

3х+ах=а²-9

(а+3)· х=а²-9

а) а= -3, то 0∙х=0, х-любое

б) а≠ -3, х = а-3

Ответ: при а = -3, х – любое; при а≠ -3, х = а-3.

2)40х+13а= +15х

40х -15х= – 13а

25х= – 13а

Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, т.е. а≥0.

а) если а=0,то 25·х=0, х=0.

б) а>0, х =

в) а<0, то не имеет смысла, уравнение не имеет корней.

Ответ: при а=0 х=0, при а>0, х = при а<0 нет корней.

3) Имеет ли уравнение целые корни, если имеет, то при каких n?

n·(х-1)=n²+n+1,

nх- n = n²+n+1,

nx = n²+2n+1

а)n=0, то 0∙х=1 нет корней.

б)n≠0, то х=

Чтобы х= было целым, надо, чтобы n Є Z, Є Z, а это возможно при n=1, то х=4, при n = -1,х =0.

Ответ: целые корни х=4 при n=1 и х=0 при n=-1.


4) При каких значениях b уравнения 3х-7=2 и bх²+3х – 1=0 имеют общий корень?

Т.к. необходимо найти значения b при которых корни будут общими, решим уравнение 3х-7=2, х=3. Тогда х=3- корень уравнения bх²+3х – 1=0, то 9b+9-1=0, 9b= -8, b = .

Следовательно, при b = данные уравнения будут иметь общий корень.

Ответ: при b = .

III. Домашнее задание:

1) Решить уравнения:

а) ах=7,

б) (5а – 1)· х=2а+3,

в) (3а+7)· х=15а+35,

г) (b²-9)· х=b+3.


2) При каких значениях b уравнения имеют общий корень:

а) 2х+3=3 и х²- (2b-1)=2

б) 3х+7=0 и 2х-b=0.

Занятие 4.

Тема: Линейные уравнения.

Цель: совершенствовать умения и навыки в решении линейных

уравнений с параметрами.


I. Проверка домашнего задания.

№1 Решить уравнения:


а) ах=7

Ответ: а=0 –нет корней; а≠0 х =.


б)(5а-1)·х = 2а+3

а) 5а-1 =0, а =, 0·х = нет корней,

б) а≠, х=.

Ответ: при а= нет корней, при а≠ х= .


в) (3а+7)·х= 15а+35,

а) 3а+7= 0, а=, 0∙х=0 –много корней.

б) а≠ х=

Ответ: при а = много корней; при а ≠ х=5.


г) (b²-9)·х=b+3.

(b²-9)=(b-3)(b+3), b+3=0 или b-3=0

b=-3 или b=3

а) если b=3, то 0·х=6 нет корней,

б) если b=-3, то 0·х=0 множество корней,

в) если b≠3, b≠-3, то х=.

Ответ: при b=3 нет корней; при b=-3 множество корней;

при b≠ ±3 х= .


№2


а) 2х+3=3 и х² - ( 2b-1)=2

х=0 0²-2b+1=2, -2b=1, b=

Ответ: при b=


б) 3х+7=0,

х=

х= является корнем уравнения



Ответ: при


II. Выполнение упражнений на закрепление.


1) При каких значениях а уравнение (3х-а)²+(4х+1)²=(5х-1)² не имеет решений?

9х²-6ах+а²+16х²+ 8х +1= 25х²- 10х+1,

-6ах+18х+а²=0, 6ах-18х=а²,

6(а-3)х=а².

Это уравнение не имеет решений при а=3, 6·0·х=9, 0∙х=9.

Ответ: при а=3 уравнение не имеет решений.


2) При каких а и b уравнение (2х+b)·(8х-2)= (4х+1)²+ а имеет не менее трех

различных корней?

16х²+8хb-4х-2b= 16х²+8х+1+а,

8хb-12х=2b+1+а,

4(2b-3)·х=2b+1+а,
а) при 2b-3=0, b=1,5, то 0х=1+3+а

0∙х=4+а

если а=-4, то 0∙х=0 уравнение имеет множество корней, следовательно

можно указать и три различных корня.
если а≠-4, то 0∙х=4+а – не имеет корней

б) при b≠1,5, то х= – единственный корень.

Ответ: при а=-4 и b=1,5 уравнение имеет не менее трех различных корней.


3) При каких а уравнение ах=а² равносильно неравенству |х-3|≥а?

а)при а≠0, то ах=а² имеет единственный корень, а неравенство |х-3|≥а

множество корней.

б)если а=0, 0х=0 – множество корней,

|х-3|≥0, тогда х любое.

Значит, уравнение и неравенство равносильны при а=0.

Ответ: а=0.


III. Домашнее задание:

    1. При каких значениях а и b уравнение имеет не менее трех различных корней (2х-а)(18х+1)=(6х-1)²+b.

    2. Решите уравнения:

а) (а-1)·х+2=а+1.

б) (а²-1)·х =2а²-а+3.


Занятие 5.

Тема: Линейные уравнения.

Цель: научить решать уравнения вида с параметрами.


I. Проверка домашнего задания.


1) (2х-а)· (18х+1)=(6х-1)²+b

36х²+2х-18ах-а=36х²-12х+1+b

14х-18ах=а+b+1, 2(7-9а)·х=а+b+1

а) при 7-9а=0, а=, 0·х=+b+1

0∙х= b+,

б) при b= , 0∙х=0- множество корней, следовательно три корня есть,

в) при b≠ , 0∙х=b+ – нет корней,

г) при а≠ х=

Ответ: при а= и b= - .


2)(а-1)·х+2=а+1, (а-1)·х=а-1

а) а-1=0, а=1 0∙х=0 – множество корней.

б) а≠1, х==1

Ответ: при а=1 множество корней, при а≠1 х=1.


3) (а²-1)·х=2а²-а+3.

а) а=1, 0∙х=4 нет корней,

б) а=-1, 0∙х=6 нет корней,

в) а≠1, а≠-1 х=.

Ответ: при а=1 и а=-1нет корней,

при а≠1, а≠-1 х=.


  1. Изучение нового материала.


Следующий шаг при решении уравнений с параметрами связан с ограничениями их области определения.

Рассмотрим уравнения вида ,



1) =1 , -1=0 ,



При каких значениях а х=2 ?

а+2=2, а=0

Итак, при а=0 х=2, но 2 не входит в область определения исходного уравнения

Ответ: при а=0 нет корней, при а≠0 х=а+2.


2)

Очевидно,х≠-1, х = а·(х+1), х-ах=а, (1-а)·х=а.

а) если а=1, то 0∙х=1 нет решений,

б) если а≠1, то х=

в) при каких а х = -1?

= -1, т.к. а≠1, то а=-1+а, 0= -1 – ложно. Тогда при любых а≠1 х≠-1.

Ответ: при а=1 нет корней, при а≠1 х= .


3) Решите уравнение:



Очевидно:х ≠ 2, х ≠ - 3, а ≠ - 1.

(2ах+х+1)·(х-2)=(х²-4)·(а+1)-а· (х+3)(х-2)

(2ах+х+1)·(х-2)=(х-2)(х+2)(а+1)- а· (х+3)(х-2)

Т.к. х-2≠0, то 2ах+х+1=(х+2)(а+1)- а· (х+3)

2ах+х+1=ах+2а+х+2-ах-3а, 2ах=1-а.

При а=0 0∙х=1 – нет корней.

При а≠0, х=

При каких а х= -3, х=2?

х= -3, = -3, т.к. а≠0, то 1-а= -6а, а= -

х=2, = 2, т.к. а≠0, то 1-а= 4а, а=

Т.е. при а= ± соответствующие значения х не входят в область определения уравнения.

Ответ: при а=0, а= -1, а= ± нет корней, при а≠ -1; 0; ± х=

IΙΙ. Домашнее задание:


1)

2)





Занятие 6.

  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт



Похожие:

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconУрока: «Решение квадратных уравнений» Класс: 8 Цели урока: Образовательные: отработка способов решения неполных квадратных уравнений
...

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconРешение квадратных уравнений
Издавна считается, что алгебра держится на четырех китах: «Уравнение»,«Число», «Функция», «Тождество». Из этого ясно, что изучение...

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconРазработка урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»
Цель: создание условий для обобщения знаний и умений по решению квадратных уравнений

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconРешение квадратных уравнений. Цель
Образовательная: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Квадратные уравнения», отрабатывать общие умения и навыки...

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconКалендарно-тематическое планирование учебного материала по математике, 10 класс
Решение рациональных неравенств (линейных, дробно – линейных и квадратных) методом интервалов

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconКалендарно-тематическое планирование учебного материала алгебра и начала анализа, 10 класс
Решение рациональных неравенств (линейных, дробно – линейных и квадратных) методом интервалов

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconКонспект урока в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений»
...

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconКвадратные уравнения с параметрами
Цель: закрепление навыков учащимися по решению квадратных уравнений ax2 + bx + c = 0 с использованием

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconУрок по теме «Решение квадратных уравнений». 8 класс. Учитель: Бухарова Т. А
Цели урока: повторить изученный ранее материал; изучить новый приём решения квадратных уравнений по формуле; вывести формулы корней...

Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами. Пояснительная записка iconРешение систем линейных уравнений с двумя переменными Работу
В процессе обучения учащиеся усваивают разные методы решения систем уравнений: подстановки, сложения, сравнения, учатся геометрически...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©uch.znate.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы